2.1 단위전류당 최대 토크 제어를 적용한 속도제어기

속도제어기는 속도지령($\omega_{rm}^*$)과 측정된 속도($\omega_{rm}$)의 차이로부터 동기좌표계 d-q축 전류지령($i_{ds}^{r*}, i_{qs}^{r*}$)을 생성한다. 엔코더가 있는 시스템에서는 엔코더로부터 측정된 속도를 궤환하면 되고, 센서리스 구동인 경우는 추정된 속도($\hat{\omega}_{rm}$) 혹은 적절히 필터된 속도($\hat{\omega}_{rm\_flt}$)를 사용하면 된다. 본 절에서는 일반성을 유지하기 위하여 측정된 속도를 $\omega_{rm}$으로 표현하도록 한다.

속도제어기의 출력은 단위전류당 최대토크를 만족하는 전류지령이지만 이 값을 구하기는 쉽지 않다. 먼저 $i_s^*$을 전류벡터의 크기 $|i_s^*|=I_s$를 가지며, $i_s^* > 0$인 경우에는 양의 최대토크를 발생시키는 전류벡터를, $i_s^* < 0$인 경우에는 음의 최대토크를 발생시키는 전류벡터를 표현하는 것으로 한다. 예를 들면 $i_s^* = 10\text{A}$이면 10 A의 크기를 가지는 전류벡터 중에 양의 최대토크를 발생시키는 전류벡터를, $i_s^* = -10\text{A}$이면 10 A의 크기를 가지는 전류벡터 중에 음의 최대토크를 발생시키는 전류벡터를 의미한다. 그러므로 $i_s^*$가 주어지면, 동기좌표계 d-q축 전류지령치($i_{ds}^{r*}, i_{qs}^{r*}$)가 다음과 같이 구해진다.^[17]

여기서,

$ \begin{cases} sign(i_s^*) = 1 & \text{if } i_s^* \ge 0 \\ sign(i_s^*) = -1 & \text{if } i_s^* < 0 \end{cases} $

그림 1은 단위토크당 최대토크 제어를 적용한 속도제어기를 나타낸다. 속도오차로부터 속도제어기에서 $i_s^*$를 출력하고, 식(1)을 사용하여 d-q축 전류지령을 생성한다.

2.2 고정자 전압의 크기

동기좌표계 d-q축 전압방정식은 다음과 같다.

정상상태 동기좌표계 d-q축 고정자전압은 미분항을 무시하면

이 되고, 고정자전압의 크기의 제곱은

이 된다. IPMSM의 경우 문제를 단순화하기 위하여 등가 SPMSM(Surface Permanent Magnet Synchronous Motor, 다른 상수는 동일하고 d축과 q축의 인덕턴스를 동일한 값 $L_s$로 둔다)를 고려해보자. 여기서 $L_s$는 d축과 q축의 인덕턴스 평균값을 적용한다. 식(4)는

이 된다. 일정속도에서 전기각주파수 $\omega_r$은 일정하므로, 위 식을 동기좌표계 d축 전류 $i_{ds}^r$에 대하여 편미분하면, $i_{ds}^r$의 변화에 대한 고정자전압의 크기의 제곱의 변화를 계산할 수 있다.

$\frac{\partial V_s^2}{\partial i_{ds}^r} = 0$이 되는 동기좌표계 d축 전류 $i_{ds}^r$가 고정자 전압의 크기 $V_s$를 최소로 하는 전류가 되고,

와 같다. 이 값은 속도가 0인 경우에는 0 A가 되고, 속도의 절대값이 커질수록 감소한다. 속도가 매우 높게 되면, $i_{ds}^r = - \frac{\phi_f}{L_s}$로 수렴한다. 식(7)을 2 kW급 IPMSM을 대상으로, 속도에 대해서 그림으로 표현하면 그림 2와 같다. 그림 2에서 센서리스 운전의 문제가 되는 저속영역을 살펴보면(고속의 경우 역기전력 $e = k \omega_{rm} \phi_f$이 크기 때문에 큰 문제가 되지 않음), 정격전류의 50 ~ 100% 전류가 d축에 인가될 경우 가장 전압의 크기가 작아진다.

식(7)의 의미를 다시 살펴보면 동일 속도, 동일 토크지령에서 식(7)보다 큰 동기좌표계 d축 전류를 인가하게 되면, 항상 고정자전압의 크기가 증가함을 의미한다. 동기좌표계 d축 전류의 증가로 인하여 고정자전류의 크기가 증가하여 손실면에서는 불리하지만 고정자전압의 증가로 인하여, 특히 저속영역에서 센서리스 운전의 안정성을 상당히 도모할 수 있다는 장점이 있다.

IPMSM의 경우도 SPMSM의 경우와 유사하다. 그림 3은 100 rpm에서 동기좌표계 d축 전류를 더 인가함에 따른 고정자전압의 크기를 나타내고 있다. 역시 동기좌표계 d축 전류를 더 인가하면 고정자전압의 크기가 증가함을 볼 수 있다. 그림 3은 다음과 같이 계산되었다. 우선 $i_s^*$가 주어지면 단위전류당 최대토크 제어에 의한 동기좌표계 d-q축 전류 $i_{ds\_mtpa}^{r*}$와 $i_{qs\_mtpa}^{r*}$가 주어진다. 여기서 d축 전류지령에 $\Delta i_{ds}^r$을 더 인가한다. 즉, $i_{ds}^r = i_{ds\_mtpa}^{r*} + \Delta i_{ds}^r$이다. 이 경우, 출력토크가 $i_{ds\_mtpa}^{r*}$, $i_{qs\_mtpa}^{r*}$가 인가될 경우와 다르게 되므로, 동일한 토크를 출력할 수 있는 q축 전류를 비례적으로 다음과 같이 구하였다.

2.3 제안하는 속도제어기의 전류지령 변경 알고리즘

동기좌표계 d축 전류를 양의 방향으로 증가시키면, 고정자 전압의 크기가 증가하여 센서리스 운전에 유리함을 알 수 있었다. 그러나 이러한 개념을 적용하기 위해서는 두가지 점을 더 고려하여야 한다.

첫째, 속도가 충분히 크면, 속도에 의한 역기전력이 충분히 커지게 되므로 이러한 제어가 도움이 되지 않고 오히려 고정자 전류의 증가로 인한 손실만 발생시킨다는 것이다. 그러므로 속도가 충분히 큰 영역에서는 이러한 제어를 하지 않는 것이 유리하다.

둘째, 큰 출력토크가 요구되는 경우, 단위전류당 최대토크제어에 의하여 매우 큰 고정자전류가 요구된다. 이 경우, 동기좌표계 d축 전류를 양의 방향으로 흘리게 되면, 요구되는 출력토크를 맞추기 위하여 동기좌표계 q축 전류가 더 많이 필요하고, 결국 요구되는 고정자 전류의 크기가 전류제한값을 초과하게 된다. 그러므로 고출력이 요구되는 경우에는 고정자 전류의 크기가 전류제한값을 만족하는 범위에서 동기좌표계 d축 전류를 적절한 양만큼 양의 방향으로 인가하는 것이 필요하다.

먼저 중요변수를 정의한다. 속도제어기에서 계산된 $i_s^*$에 따라 단위전류당 최대토크제어(MTPA, Maximum Torque Per Ampere Control)에 의하여 계산된 동기좌표계 d, q축 전류를 각각 $i_{ds\_mtpa}^{r*}$, $i_{qs\_mtpa}^{r*}$로 정의한다. 또 경부하에서 고정자전압의 크기를 상승시키기 위하여 인가되는 동기좌표계 d축 전류를 $i_{ds\_nl}^r$로 정의한다. $i_{ds\_nl}^r$는 속도의 절대값에 따라 그림 4와 같은 형태로 설정한다. 그림 4에서 $i_{ds\_nl\_max}^r$는 $i_{ds\_nl}^r$의 최대값으로 최대고정자전류의 크기($I_{s\_max}$)을 고려하여 $I_{s\_max}$보다 작게 설정한다. 또 속도에 따른 $i_{ds\_nl}^r$의 기울기도 적절히 설정한다.

먼저 단위전류당 최대토크 제어에 의하여 발생되는 동기좌표계 d축 전류 $i_{ds\_mtpa}^{r*}$는 항상 0 또는 음의 값을 가진다. 그리고, $i_{ds\_nl}^r$은 전동기 속도에 따라 그림 4에 의해 결정된다. 이 때, 동기좌표계 d축 전류지령은

으로 결정한다.

먼저 속도가 0 에서 $\omega_{rpm0}$까지는 $i_{ds\_nl}^r$을 $i_{ds\_nl\_max}^r$로 유지한다. MTPA 제어에 의한 d축 전류지령은 음의 값이므로, 이 영역에서 d축 전류지령으로 큰 양의 값인 $i_{ds\_nl\_max}^r$이 생성된다. 속도가 $\omega_{rpm0}$에서 $\omega_{rpm1}$까지는 $i_{ds\_nl}^r$값을 서서히 0 A까지 줄인다. 이 경우에도 d축 전류지령으로 $i_{ds\_nl}^r$이 생성된다. 속도가 $\omega_{rpm1}$에서 $\omega_{rpm2}$까지는 $i_{ds\_nl}^r$값을 서서히 0 A에서 $i_{ds\_mpta\_min}^r$까지 감소시킨다. 여기서 $i_{ds\_mpta\_min}^r$는 MTPA 제어에 의해 생성되는 d축 전류지령의 최소값을 의미한다. 그러므로 이 영역에서는 $i_{ds\_mpta}^r$값에 따라서 d축 전류지령으로 $i_{ds\_nl}^r$이 생성될 수도 있고 $i_{ds\_mpta}^r$이 생성될 수도 있다. 속도 $\omega_{rpm0}$에서 $\omega_{rpm2}$까지의 영역은 제안된 알고리즘에서 기존 알고리즘으로 전환하는 과정이라고 이해할 수 있다. 그리고 속도가 $\omega_{rpm2}$이상이 되면, $i_{ds\_nl}^r$의 값이 $i_{ds\_mpta}^r$보다 작아지게 되므로, d축 전류지령으로 $i_{ds\_mpta}^r$이 선택되고, 기존 MTPA 제어 알고리즘으로 복귀하게 된다. 중요 설계 변수는 제안된 알고리즘에서 기존 알고리즘으로 전환하는 속도 $\omega_{rpm0}$과 $\omega_{rpm2}$이다

(a) 경부하에서의 전류지령 변경

먼저 경부하인 경우부터 고려하자. 경부하인 경우 $i_{ds}^{r*} = i_{ds\_nl}^r$로 두고, MTPA제어에 의하여 요구되는 토크와 동일한 토크를 발생시키는 q축 전류지령 $i_{qs}^{r*}$을 다음과 같이 구한다. MTPA제어에 의해 계산된 $i_{ds\_mtpa}^{r*}$와 $i_{qs\_mtpa}^{r*}$로부터 지령토크를 계산하면

이고, $i_{ds}^{r*} = i_{ds\_nl}^r$인 경우, 토크는

이므로, 동일한 토크를 발생시키는데 요구되는 동기좌표계 q축 전류지령은

이 된다. 그림 5에서 무부하에서 부하가 증가하면서 동기좌표계 전류지령은 A점에서 B점으로 이동하게 된다.

(b) 중부하에서의 전류지령 변경

이렇게 구한 동기좌표계 전류지령의 크기가 전류제한값 $I_{s\_max}$보다 작다면, 즉 $\sqrt{i_{ds}^{r*2} + i_{qs}^{r*2}} \le I_{s\_max}$이면, $i_{ds}^{r*} = i_{ds\_nl}^r$이고 $i_{qs}^{r*}$은 식(12)에서 계산된 값을 출력한다. 그러나 $\sqrt{i_{ds}^{r*2} + i_{qs}^{r*2}} > I_{s\_max}$인 경우, 즉 전류지령의 크기가 전류제한값보다 크다면, 중부하라고 판단하고 다음과 같이 구한다.

중부하인 경우, 요구되는 토크를 만족하고, $i_{ds}^{r*} = i_{ds\_nl}^r$인 상태에서 전류지령의 크기가 전류제한값 보다 작은 $i_{qs}^{r*}$을 구할 수 없다. 그러므로, 이 경우에는 전류제한원($\sqrt{i_{ds}^{r*2} + i_{qs}^{r*2}} = I_{s\_max}$)에서 동기좌표계 d축 전류를 $i_{ds\_nl}^r$보다 작게 감소시키면서, 요구되는 토크와 동일한 토크를 출력할 수 있는 동기좌표계 q축 전류지령을 구해야 한다. 즉,

위의 두 식을 만족하는 동기좌표계 전류지령 $i_{ds}^{r*}, i_{qs}^{r*}$을 구해야 하는데 계산이 복잡하다. 그림 6에서 전류제한원과 $i_{ds}^r = i_{ds\_nl}^r$의 교점을 B점으로 표시하고 q축 성분을 $i_{qs1}^r$으로 정의한다. 즉 $i_{qs1}^r = \sqrt{I_{s\_max}^2 - i_{ds}^{r*2}}$이고, B점에 의하여 발생되는 토크 $T_{e1}$를

로 정의한다.

토크 $T_{e1}$은 경부하와 중부하의 경계에 있는 토크이며, 전류제한조건과 $i_{ds}^r = i_{ds\_nl}^r$조건을 만족하는 최대토크이다. 또, 전류제한원 $\sqrt{i_{ds}^{r*2} + i_{qs}^{r*2}} = I_{s\_max}$에서 MTPA 제어에 의하여 계산되는 동기좌표계 전류 값을 $i_{ds\_mt}^r$, $i_{qs\_mt}^r$로 정의하고, 발생토크를 $T_{e\_mt}$로 정의한다. 그림 6에서 $i_{ds\_mt}^r$, $i_{qs\_mt}^r$는 C점을 표시하고, $T_{e\_mt}$는 C점에 의하여 발생되는 토크를 의미하고 전류제한 조건을 만족하는 최대토크이며 식(14)와 같다.

중부하 조건은 요구되는 토크지령이 $T_{e1}$보다 크고, $T_{e\_mt}$보다 작은 영역이며 B점에서 C점으로 전류제한원을 따라 움직이면 토크가 $T_{e1}$에서 $T_{e\_mt}$로 증가한다. 즉, 동기좌표계 d축 전류가 $i_{ds\_nl}^r$에서 $i_{ds\_mt}^r$로 감소하면서, 전류제한원을 따라 움직이면 토크가 비선형적으로 증가한다는 의미가 된다. 실제로는 비선형적으로 토크가 증가하게 되지만, 근사적으로 동기좌표계 d축 전류가 $i_{ds\_nl}^r$에서 $i_{ds\_mt}^r$로 감소하면서 토크가 선형적으로 증가한다고 가정하면, 요구되는 토크에 맞는 전류지령값을 구할 수 있다. 동기좌표계 d축 전류가 $i_{ds\_nl}^r$일 때 토크가 $T_{e1}$이고, d축 전류가 $i_{ds\_mt}^r$일 때 토크가 $T_{e\_mt}$이므로 직선의 방정식은

이 되고, 다음 식과 같은 지령토크가 요구되면

d축 전류지령과 q축 전류지령은 다음 식과 같이 구할 수 있다.

지금까지의 결과를 정리하면, 그림 7과 같은 플로우 차트 알고리즘으로 표현할 수 있다.

그림 5를 다시 보면, 저속에서 변경되는 전류지령의 궤적을 알 수 있다. 지령토크가 0 인 경우의 전류지령은 A점이고, 지령토크가 양의 방향으로 증가하게 되면 직선을 따라 A점에서 B점으로 증가하고, 지령토크가 양의 방향으로 더 증가하게 되면, 원둘레를 따라 B점에서 C점으로 증가한다. 지령토크가 음인 경우는 d축에 대하여 대칭이 된다.

그림 8은 전류지령 변경부를 가지는 속도제어기이다. 속도오차로부터 $i_s^*$가 생성되고, 단위전류당 최대토크 제어에 의하여 $i_{ds\_mtpa}^{r*}$, $i_{qs\_mtpa}^{r*}$가 계산된다. 이를 통해 본 논문에서 제안하는 전류지령 변경 알고리즘에 의하여 최종 전류지령치 $i_{ds}^{r*}, i_{qs}^{r*}$가 생성된다.

(c) 속도에 따른 전류지령 변경

그림 9에서 속도가 증가할수록 $i_{ds\_nl}^r$의 값은 (a)에서 (d)와 같이 감소하게된다. 그림 9(a)는 속도가 낮아서 $i_{ds\_nl}^r$이 $i_{ds\_nl\_max}^r$일 때의 부하 증가에 따른 전류의 궤적이고, 그림 9(b)는 속도가 $\omega_{rpm0}$여서 $i_{ds\_nl}^r$이 ‘0’ 일 경우의 부하 증가에 따른 전류의 궤적이고, 그림 9(c)는 속도가 더 증가하여 $i_{ds\_nl}^r$이 작은 음의 값일 경우의 전류의 궤적이며, 마지막으로 그림 9(d)는 속도가 아주 많이 증가하여 $i_{ds\_nl}^r$이 큰 음의 값일 경우의 전류의 궤적이다.

그림 9(a)와 (b)에서는 경부하의 경우 A점에서 B점으로 전류지령이 변경되며, 중부하인 경우 B점에서 C점으로 전류지령이 변경된다. 그림 9(c)의 경우, 경부하인 경우 전류지령이 MTPA곡선을 따라 이동하다가 중부하가 되면 B점으로 이동하였다가 최종적으로 원호를 따라 C점으로 이동한다. 그림 9(d)의 경우는 전류지령의 변경없이 전류지령이 MTPA 곡선을 따라 움직인다는 것을 알 수 있다.

2.4 IPM 폐루프 자속추정기^[4]

그림 10는 본 논문에 사용된 IPM 전동기의 폐루프 자속추정기이다. 그림 10에서 동기좌표계 회전자 지령자속($\lambda_r^{e*}$)은 다음과 같다.

정지좌표계 회전자 지령자속($\lambda_r^{s*}$)은

이다. 여기서 $R(\hat{\theta})$는 dq 정지좌표계에서 dq 동기좌표계로의 변환행렬이다. 정지좌표계 회전자 자속지령($\lambda_r^{s*}$)과 추정된 정지좌표계 회전자 자속($\hat{\lambda}_r^s$)을 PI제어하여 보상전압($e_s^s$)을 생성한다.

추정된 정지좌표계 고정자 자속 ($\hat{\lambda}_s^s$)는 다음과 같고

추정된 동기좌표계 회전자 자속 ($\hat{\lambda}_r^e$)는 다음과 같다.

이 값을 정지좌표계로 변환하여 추정 정지좌표계 회전자 자속($\hat{\lambda}_r^s$)을 구한다.