3.1 내부 폐루프 제어기 설계 및 안정성 분석

3.1.a $\epsilon_{1}$-PID제어기 설계

$C_{1}(s)$는 $x_{3}$가 $x_{3d}=u_{1}$로 추종이 되도록 설계될 제어기 이며 $C_{1}(s)$의 출력은 $u_{2}$이다.

2장에서의 설정과 같이 과도응답 시 $u_{1}$의 변화가 작다고 가 정하며$(\dot{u}_{1}\approx 0)$, 따라서 식 (5)와 식 (6)을 분리하여 표현 한다. 추종오차는 $e_{3}=x_{3}-u_{1}, e_{4}=x_{4}$로 정의하고, 식 (6)을 정리하면 다음과 같다.

식 (6)을 행렬형태 $z=[\dot{e}_{3}, \dot{e}_{4}, e_{3}]^{T}$로 정리하면 다음과 같다.

상태방정식은 $\dot{z}= Az+B\left[-\frac{1}{\tau}z_{2}+\frac{K}{\tau}\dot{u}_{2}\right]$로 표현할 수 있다. 이 때, $\dot{u}_{2}=v$이고, A와 B는 다음과 같다.

이제 nominal 시스템 파라미터를 이용하여 피드백 선형화 제어기를 구할 수 있다 ^[10].

이 때 내부 제어기 $\omega$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

식 (12)을 식 (11)에 대입하여 $v =\dot{u}_{2}$ 에 대한 식으로 정리하면 $\epsilon_{1}$-PID제어기를 설계할 수 있다.

이 때 $K_{P}(\epsilon_{1}), K_{D}(\epsilon_{1}), K_{I}(\epsilon_{1})$는 다음과 같다.

3.1.b 내부 폐루프의 안정성 판별

SRV02의 동역학방정식과 $\epsilon_{1}$-PID제어기 식의 라플라스변환을 통해 구한 각각의 전달함수 $G_{1}(s)$,$C_{1}(s)$는 다음과 같다.

외란 $d_{1}$은 0으로 간주하고, 내부 폐루프 전달함수 $T_{1}(s)$를 통해 특성방정식 $1+G_{1}(s)C_{1}(s)=0$을 구하면 다음과 같다.

식 (18)를 통해 Routh-Hurwitz판별법을 이용한다.

제어기가 안정한 $k_{1}$,$k_{2}$,$k_{3}$,$\epsilon_{1}$의 범위를 아래와 같이 구할 수 있다.

이에 만족하는 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$의 조합을 응답속도나 안정 여유(마진)관점으로 볼 때 $s^{1}$항의 값을 크게 할수록 더 성능이 좋다. 이유는 $s^{1}$항의 값이 크면 극점이 왼쪽에 멀찍이 위치하므로 안정 여유가 커지면서 더 빠르고 안정적이다.

3.2 외부 폐루프 제어기 설계 및 안정성 분석

3.2.a $\epsilon_{2}$-PD제어기 설계

$C_{2}(s)$는 $x_{1}$이 $x_{1d}$로 추종 되도록 설계될 제어기이며, $C_{2}(s)$의 출력은 $u_{1}$이다. 2장에서 가정을 통해 분리구조를 설정하였기에, 외부 폐루프 설계에 있어서 내부 폐루프는 제외한다.

추종오차는 $e_{1}=x_{1}-x_{1d}$, $e_{2}=x_{2}-\dot{x}_{1d}$로 정의하며 $x_{1d}$는 레퍼런스이므로 $\dot{x}_{1d}$는 0이다. 식 (5)를 정리하면 다음과 같다.

식 (5)를 행렬형태 $z=[\dot{e}_{1}, \dot{e}_{2}]^{T}$형태로 정리하면 다음과 같다.

상태방정식은 $\dot{z}= Az+B[K_{bb}\dot{u}_{1}]$으로 표현할 수 있으며 이 때 $\dot{u}_{1}=v$이고, A와 B는 다음과 같다.

피드백 선형화 제어기는 다음과 같다.

이 때 내부 제어기 $\omega$는 다음과 같이 표현할 수 있다.

식 (26)을 식 (25)에 대입하여 $v =\dot{u}_{1}$에 대한 식으로 정리하면 $\epsilon_{2}$-PD제어기를 설계할 수 있다.

이 때 $K_{P 2}(\epsilon_{2}), K_{D 2}(\epsilon_{2})$는 다음과 같다.

3.2.b 외부 폐루프의 안정성 판별

BB01의 동역학방정식과 $\epsilon_{2}$-PD제어기 식의 라플라스변환을 통해 구한 각각의 전달함수 $G_{2}(s)$, $C_{2}(s)$는 다음과 같다.

특성방정식 $1+ G_{2}(s)C_{2}(s)=0$구하면 다음과 같다.

식 (32)을 통해 Routh-Hurwitz판별법을 이용한다.

제어기가 안정한 $k_{4}$,$k_{5}$,$\epsilon_{2}$의 범위를 아래와 같이 구할 수 있다.

Remark 1. 다음과 같이 4차 시스템을 2차 시스템으로 분리하여, 각 2차 모델에서 개별적으로 제어기를 설계하였다. 그리고 기존 PID 제어기에 비해 각 제어기에서 이득조절요소 $\epsilon_{1}$, $\epsilon_{2}$를 추가하여 단일 파라미터로 PID의 전체 이득 튜닝을 미세하게 조절하고 쉽게 성능을 재조정할 수 있도록 한다. 이에 대한 이득 튜닝 과정의 차별점에서 유용성을 분석해보도록 하자.

4.1 이득조절요소 $\epsilon_{1}$의 유용성 분석

4.1.a $\epsilon_{1}$변화에 따른 내부 폐루프 출력($\theta$)의 오버슈트와 정착시간 분석

외란 $d_{1}$은 0으로 간주하며 스텝응답에서 나오는 오버슈트와 정착시간을 분석해보자. 3장의 내부 폐루프의 특성방정식인 식 (18)의 $s^{3}$의 계수를 1로 정리하면 다음과 같다.

식 (33)을 2개의 우세극점과 1개의 실수극점($\alpha$)을 가지는 식으로 정리한다.

이제 각 $s^{2}$,$s^{1}$,$s^{0}$항의 계수를 비교한다.

이 때, 실수 극점이 $\alpha\gg \zeta\omega_{n}$를 만족한다고 가정하면 식 (37), (38), (39)를 통해 $\alpha , \zeta , \omega_{n}$을 정의할 수 있다.

식 (40), (41)를 식 (42)에 대입한 뒤 오버슈트, 정착시간에서 $\epsilon_{1}$의 영향을 분석한다.

식 (43), (44)에서 이득조절요소 $\epsilon_{1}$의 0.4부터 1.4까지의 변화에 따라 모터 각도($\theta$)의 오버슈트는 다음과 같이 나타난다.

Fig. 2를 통해 이득조절요소가 감소할수록 모터 각도($\theta$)의 오버슈트가 감소하는 것을 확인할 수 있다. 또한, 식 (45)에서 이득조절요소 $\epsilon_{1}$의 0.4부터 1.4까지의 변화에 따라 모터 각도($\theta$)의 정착시간은 다음과 같다.

Fig. 3를 통해 이득조절요소가 감소할수록 모터 각도($\theta$)의 정착시간이 감소하는 것을 확인한다.

4.1.b $\epsilon_{1}$변화에 따른 외부 폐루프 출력$(x)$의 오버슈트와 정착시간 분석

3장에서 설계한 이중 $\epsilon$-PID/PD제어기를 MATLAB를 통해 구현하여 이득조절요소 $\epsilon_{1}$의 변화에 따른 볼-빔 시스템의 출력인 쇠공의 위치($x$)의 성능에 대해 분석한다. 시뮬레이션을 통해 $\epsilon_{1}$변화에 따른 쇠공위치($x$)의 오버슈트는 다음과 같다.

Fig. 4를 통해 $\epsilon_{1}$의 감소는 쇠공위치($x$)의 오버슈트를 감소시켜준다는 것을 확인할 수 있다.

다음은 $\epsilon_{1}$변화에 따른 쇠공위치($x$)의 정착시간을 확인한다.

이번 Fig. 5를 통해서도 $\epsilon_{1}$의 감소로 쇠공위치($x$)의 정착시간을 단축시키는 성능개선이 일어나고있음을 확인 할 수 있다.

2, 3장에서 SRV02와 BB01을 분리하여 상태방정식을 표현했지만, SRV02의 출력인 $\theta$는 BB01의 입력으로서의 역할을 한다. 그러므로 Fig. 2, Fig. 4와 Fig. 3, Fig. 5에서 $\epsilon_{1}$의 감소는 내부 폐루프 출력(모터 각도)과 외부 폐루프 출력(쇠공 위치)의 성능을 동시에 향상 시켜주는 경향성을 확인할 수 있다.

4.1.c $\epsilon_{1}$변화에 따른 내부 폐루프 출력($\theta$)의 정상상태오차 분석

내부 폐루프의 출력인 모터 각도($\theta$)의 ramp에 대한 오차신호 $E(s)$는 아래와 같이 계산된다.

여기서 외란 $d_{1}$에 대한 분석은 제어기의 강인성을 분석하기 위함이며, 식 (46)을 통해 정상상태오차 $e_{ss}$를 정리한다.

식 (47)를 통해 이득조절요소 $\epsilon_{1}$의 0.4부터 1.4까지의 변화에 따른 정상상태오차는 다음과 같다.

Fig. 6를 통해 이득조절요소가 감소할수록 모터 각도($\theta$)의 정상상태오차가 감소하는 것을 확인할 수 있다.

4.2 이득조절요소 $\epsilon_{2}$의 유용성 분석

4.2.a $\epsilon_{2}$변화에 따른 외부 폐루프 출력$(x)$의 오버슈트와 정착시간 분석

실제 시스템에서 내부 폐루프의 불완전한 분리 및 상호작용이 외부 폐루프 동특성에 유의미한 영향을 미칠 수 있다. 이를 고려한 좀 더 정확한 시스템 분석을 위하여 앞에서 제시한 단순화된 시스템이 아닌 식 (3)에서의 실제 식은 다음과 같다.

이 때 $(\sin x_{3}-\sin u_{1})$는 분리구조에서 각 2차 시스템에 발생하는 crossover term이고 이를 $w(t)$로 정의한다. $w(t)$는 식 (3)에서 파생되기 때문에 $\epsilon_{2}$에 대한 함수이며, $x_{3}$가 $u_{1}$을 추종하는 상황에서는 0이되는 성질이다($\triangle w(t)\to 0$). 이를 외부폐루프 출력의 분석에 반영하기 위해 내부 폐루프에 의한 crossover term을 파라미터 함수인 $T_{cross}(\epsilon_{2})$로 정의하자. 외부 폐루프의 특성방정식에서 오버슈트와 정착시간을 분석하는데 가장 직관적인 영향을 줄 수 있는 댐핑 계수인 $s^{1}$에 $T_{cross}(\epsilon_{2})$를 추가하여 $s^{2}$의 계수를 1로 정리하면 다음과 같다.

식 (49)를 2개의 우세극점을 가지는 식으로 정리한다.

이제 각 $s^{1}$,$s^{0}$항의 계수를 비교하면 다음과 같다.

식 (51), (52)를 통해 $\zeta$, $\omega_{n}$을 정의할 수 있다.

식 (54)에서 감쇠비는 $\epsilon_{2}$와 직접 비례하지 않으며, 교차항 $T_{cross}(\epsilon_{2})$의 함수 구조에 따라 $\epsilon_{2}$에 대한 간접적 의존성을 가진다. 따라서 $\epsilon_{2}$가 증가하면 $T_{cross}(\epsilon_{2})$가 어떻게 정의되는지에 따라 감쇠비 역시 그 효과에 맞춰 변화한다. 우선 직접적인 영향을 주지 않으므로 $\epsilon_{2}$의 변화는 외부 폐루프 출력$(x)$의 오버슈트에 영향을 주지 않는다고 정리하고 실제 실험에서 $T_{cross}(\epsilon_{2})$가 어떤 영향을 미치는지 살펴보도록하자. 다음으로 식 (51)을 식 (45)에 대입하면 정착시간은 다음과 같다.

식 (55)에서 정착시간은 분모에 존재하는 교차항 $T_{cross}(\epsilon_{2})$의 함수 구조에 따라 $\epsilon_{2}$에 대한 단순 비례관계가 달라질 수 있다. 따라서 정착시간의 $\epsilon_{2}$의 의존성은 $T_{cross}(\epsilon_{2})$의 성질에 의해 결정되며, 실제 실험에서 $T_{cross}(\epsilon_{2})$가 어떤 영향을 미치는지 살펴보도록 하자.

4.2.b $\epsilon_{2}$변화에 따른 외부 폐루프 출력$(x)$의 정상상태 오차 분석

이번에는 외부 폐루프의 특성방정식에서 출력의 정상상태오차를 분석하는데 직관적인 영향을 줄 수 있는 시스템 타입과 관련된 계수인 $s^{0}$에 $T_{cross}(\epsilon_{2})$를 추가한다. 출력인 쇠공위치($x$)의 오차신호 $E(s)$는 아래와 같이 계산된다.

여기서 $T_{2}$은 내부 폐루프의 전달함수이며, 식(56)을 통해 정상상태오차 $e_{ss}$를 정리하면 다음과 같다.

식 (57)을 통해 출력($x$)의 정상상태오차에 $\epsilon_{2}$가 관여하지 않는 것을 알 수 있다. 정상상태오차 또한 서브시스템의 분리구조 가정에 의한 정리이기에 실제 실험에서의 변수상황을 살펴보도록한다.

4.3 이득 요소의 튜닝 방안

이중 $\epsilon$-PID/PD제어기의 이득조절요소 $\epsilon_{1}$, $\epsilon_{2}$ 변화에 따른 특성을 요약하면 다음과 같다.

Table 1과 같이 $\epsilon_{1}$을 감소시키면 내부 폐루프 전달함수의 출력 $\theta$의 응답 성능이 개선되어, 이로 인해 외부 폐루프를 통한 출력 변수 $x$의 제어 성능도 향상된다.

그러나 식 (14), (28)를 통해 $\epsilon_{1}$, $\epsilon_{2}$의 감소는 $V_{m}$ 및 $\theta$을 증가시키기에, 지나치게 작게 설정하면 제어 입력$V_{m}$ 및 $\theta$가 모두 포화되어 제어기가 데드밴드 구간에 머무르게 되고, 이로 인해 제어 반응이 정체될 뿐만 아니라 센서 노이즈로 인한 채터링이 발생한다.

따라서 과도한 포화현상은 오버슈트와 정상상태오차에 영향을 주지않는 $\epsilon_{2}$-PD제어기의 이득 $\epsilon_{2}$를 증가시켜 보상하는 방식으로 해결하고자한다.

4장에서 분석한 이득조절요소의 특징을 바탕으로 이득튜닝 알고리즘을 다음과 같이 제안한다.

5.1 $\epsilon_{1}$의 변화에 따른 쇠공의 위치 분석

Fig. 7에서 제안한 이득튜닝 알고리즘을 따라 $\epsilon_{1}$의 감소가 볼-빔 시스템 출력 성능을 개선하는지 실험을 통해 확인한다.

우선 $\epsilon_{1}=1, \epsilon_{2}=1$인 상태로 실험 측정을 시작하며 쇠공의 위치는 다음과 같이 나타난다.

Fig. 9을 통해 기존 이중 PID/PD제어기($\epsilon_{1}=1$,$\epsilon_{2}=1$)를 통한 볼-빔제어는 오버슈트와 정상상태 오차가 큰 문제점을 확인할 수 있다.

그러므로 Fig. 7의 첫 번째 조건에 만족하지 않기에 $\epsilon_{1}$값을 0.2씩 줄이며 $\epsilon_{1}=0.8$, $\epsilon_{1}=0.6$, $\epsilon_{1}=$$0.4$일 때 쇠공의 위치를 확인한다.

실험결과를 통해 4장에서 분석한 $\epsilon_{1}$값이 감소할수록 오버슈트와 정상상태오차 성능이 개선되는 것을 확인할 수 있으며 수치를 표로 정리하면 다음과 같다.

Table 2에 의해 우리는 가장 쇠공의 위치 성능이 향상된 $\epsilon_{1}=0.4$를 사용하도록 하자.

5.2 $\epsilon_{2}$의 변화에 따른 입력 전압 분석

볼-빔 시스템 입력전압의 포화도는 하드웨어적으로 –10V에서 10V 구간이다. 4장의 Fig. 7에서 제안한 튜닝방안과 같이 $\epsilon_{1}$의 감소에 따른 입력전압의 포화현상을 $\epsilon_{2}$를 증가시키므로써 보상해 줄 수 있는지 확인한다. Fig. 12의 상황에서 $\epsilon_{2}$의 증가에 따른 입력전압의 변화는 다음과 같다.

Fig. 13를 통해 $\epsilon_{2}=1$일 때, 0초에서 5초 구간에 포화현상이 일어나는 것을 알 수 있다. 또한 노이즈 현상으로인한 입력전압의 스파이크가 일어나 입력을 흐트러트리는 현상이 일어난다. $\epsilon_{2}$의 증가는 입력전압을 낮춰 포화현상을 완화해주며 입력전압의 스파이크 현상을 현저히 줄여 노이즈 현상으로부터 벗어나고 있음을 확인할 수 있다. 각각 입력전압에서의 쇠공의 위치 출력 성능은 다음과 같다.

Table 3에서 $\epsilon_{2}$의 증가를 통해 입력전압의 분산 값이 감소되는 것을 알 수 있다. 이는 평균 전압값에서 멀리 퍼지는 스파이크 현상이 줄어드는 것을 수치적으로 보여주는 것이며 제어 입력 성능이 향상되었음을 보여준다.

또한, Fig. 12의 쇠공 위치 궤적에서 스파이크 현상이 나타나지 않았지만, 추가 실험 결과 $\epsilon_{1}$을 더 낮게 설정할 경우 위치 궤적에도 스파이크 현상이 발생함을 확인하였다. 따라서 입력전압의 스파이크 저감은 출력 궤적 안정성 확보에도 기여할 수 있는 중요한 제어 성능개선 효과임을 의미한다.

4장 4.2.a와 4.2.b 분석의 결론으로 언급했듯이 실제 실험에서 $\epsilon_{2}$를 증가시키면 $T_{cross}(\epsilon_{2})$가 커지는데, 이로 인해 미세하지만 오버슈트가 증가하고, 정착시간은 단축되는 경향을 보였으며, 정상상태오차 또한 소폭 증가함을 확인할 수 있다. 이는 외부 폐루프를 해석할 때, 실제로는 4차인 볼-빔 시스템 모델을 분리구조에서 내부 폐루프를 제외하고 해석하며 발생한 crossover term의 간섭 효과에 의한 미세한 차이이다. Table 2와 함께 전체 볼-빔 시스템의 성능으로써 고려했을 때, 이러한 미세한 차이점이 있지만 쉽게 보정이 가능하며 4차 시스템이 아닌 2차 모델로의 간편한 해석을 할 수 있다는 점과 전압 포화를 보상해준다는 큰 이점이 있다는 것을 전달하고자 한다. 이를 통해 우리는 오버슈트, 정상상태오차와 노이즈 현상 예방을 고려해 $\epsilon_{2}=2$를 사용하기로 한다.

5.3 이중 PID/PD제어기와 이중 $\epsilon$-PID/PD제어기 비교

다음은 이중 PID/PD제어기($\epsilon_{1}=1, \epsilon_{2}=1$)와 이중 $\epsilon$-PID/PD제어기($\epsilon_{1}=0.4, \epsilon_{2}=2$)의 성능비교이다.

다음으로 사각파 참조신호에서의 제어기의 응답 특성을 비교한다.

Fig. 14, Fig. 15와 Table 2, Table 3를 통해 추가 이득요소($\epsilon_{1}=$$0.4$, $\epsilon_{2}=$$2$)를 사용한 이중 $\epsilon$-PID/PD제어기가 기존 이중 PID/PD제어기 대비 정착시간이 71.45 [%] 단축되었고, 오버슈트가 99.59 [%]감소, 정상상태오차가 98.28[%] 감소하였음을 확인할 수 있다.

Remark 2. 본 논문의 기여도는 다음과 같다.

(i) 더 많은 고차 시스템에서도 복잡한 해석의 난이도를 서브시스템으로의 분리구조를 통해 낮추어, 동적특성을 구별하며 명확하게 분석하는 방법으로 적용될 수 있다.

(ii) 볼-빔 시스템보다도 이득조절요소가 많은 복잡한 시스템에서 추가 이득조절요소를 활용해 전체 이득 튜닝을 미세하게 조절하고 쉽게 성능을 재조정할 수 있는 새로운 튜닝방안으로 적용될 수 있다.